Un artisan commence la pose d'un carrelage dans une grande pièce.
Le carrelage choisi a une forme hexagonale.
L'artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes successibles de la façon suivante:
• A l'étape 1, il entoure le carreau central, à l'aide de 6 carreaux et obtient une première forme.
• A l'étape 2 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.
On note Un le nombre de carreaux ajoutés par l'artisan pour faire la n-ième étape.
Ainsi U1 = 6 et U2 = 12.
1. Quelle est la valeur de U3 ?
2. On admet que la suite (Un) est arithmétique de raison 6. Exprimer un en fonction de
n.
3. Combien l'artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l'étape 5? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu'il termine l'étape 5 (en comptant le carreau central initial) ?
4. On pose Sn = U1 + U2 + ... + Un .
Montrer que Sn = 3n^2+3n
5. Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l'artisan depuis le début, lorsqu'il termine la n-ième étape, est donc 3n^2 + 3n + 1.
A la fin de sa semaine, l'artisan termine la pose du carrelage en collant son 2977ème carreau. Combien a-t-il fait d'étapes ?